[수학] 1차식과 2차식

인공지능 수학

 

1차식과 2차식

---

이번 시간에는 수학에서 기초가 되는 1차식과 2차식에 대해 알아보는 시간을 가져보자. 그전에 우성 항이라는 개념에 대해 먼저 알아야 하는데, 항이란 숫자나 문자, 또는 그 둘의 곱으로 되는 표현식을 의미한다. 예를 들어, 3이나 a, 3a, -4ab, x/3, a²이 전부 항에 해당한다. 이때, 각각의 항에 변수가 곱해진 횟수를 차수라고 한다. 만약 어떤 항에 변수는 없고 상수만 있다면 그 항의 차수는 0이다. 또한 3이라는 항이 있다면 이 항의 차수는 0이다. 마찬가지로, 어떤 항이 a라면 변수 a에 대한 차수는 1, 어떤 항이 -4ab라면 변수 a와 b에 대한 차수는 2, 그리고 어떤 항이 a²라면 변수 a에 대한 차수는 2가 된다. 

 

그리고 각 항에서 변수에 해당하는 문자를 제외한 부분을 계수라고 한다. 예를 들어, 3이라는 항이 있다면 계수는 3이고, 어떤 항이 3a라면 계수는 3이다(문자열을 제외한 부분). 또, 어떤 항이 x/3이라면 x/3  = 1/3 * x로 표현할 수 있으므로 계수는 1/3이 된다.

 

항, 계수, 문자, 차수

 

항이 무엇인지에 대해 배웠으므로 이제는 단항식과 다항식에 대해 한 번 알아보자. 단항식은 1개의 항으로 만들어진 식이다. 앞선 예제에 봤듯이, 3, a, 3a, -4ab, x/3 같은 식이 모두 단항식이다. 다항식은 여러 개의 항이 더하기로 연결된 식이다.

다항식

 

변수 a와 b인 위와 같은 식이 있다고 가정했을 때, 3a, -2a, 4a²b, 6과 같은 항들이 더하기로 연결되어 있기 때문에 다항식이다. 위의 수식을 계수와 차수의 관점으로 정리하면 아래와 같다.

 

다항식의 계수와 차수

 

다항식의 차수를 말할 때는 다항식에 포함된 여러 항들을 같은 종류의 항끼리 정리한 후, 가장 차수가 높은 항의 차수를 그 다항식의 차수로 부른다. 위의 수식에서 예로 들면 변수 a와 b에 대해 해당 식의 최고차항은 4a²b이고, 변수 a를 2번, b를 1번 곱했으므로 이 다항식의 차수는 2 + 1 = 3이 된다.

 

x에 대한 1차식

 

이제 문자 x가 변수라고 가정할 때, x의 1차식에 대해 알아보자, 위의 수식에서 a와 b는 상수로 취급한다. 1차식은 수식의 항 중에서 최고차항의 차수가 1인 식을 말한다. 위의 식을 살펴보면 ax 항의 차수는 1, b 항의 차수는 문자 x가 없기 때문에 0이 되어 최종적으로 해당 식은 1차 식이 된다. 이 1차식을 y = ax + b라고 할 때, 이 식의 그래프는 아래와 같이 표현할 수 있다. 

 

1차 함수의 그래프

 

1차식에서는 x와 y의 관계를 그래프로 표현할 때, 직선 모양이 된다는 특징이 있다. 이때, 계수 a는 직선의 기울기에 해당하고, b는 x = 0일 때의 y값인 절편이 된다. 

 

x에 대한2차식

 

위의 식에서 a와 b 그리고 c는 상수로 취급한다. 2차식은 수식의 항 중에서 최고차항의 차수가 2인 식을 말한다. 위의 식에서 a는 0이 아니라고 가정하는 이유는 a가 0이면 수식이 1차 식이 되기 때문이다. 위의 2차식을 y = ax² + bx + c라고 할 때, 위의 식의 그래프는 아래와 같이 표현할 수 있다. 

2차식 그래프

 

2차식에서는 x와 y의 관계를 그래프로 표현할 때, 물건을 던졌을 때의 궤적과 같은 포물선 모양이 된다는 특징이 있다. 이때, 계수 a가 양수이면 포물선이 아래로 볼록하게 되고, a가 음수이면 포물선이 위로 볼록하게 된다.

 

다음은 문자 x가 변수라고 가정할 때, x의 n차식은 어떤지 한 번 살펴보자. n차식은 수식의 항 중에서 최고차항의 수가 n인 식을 말한다.

x의 n차식

 

여기서 a0​부터 an까지는 모두 상수로 취급한다. 수식이 더 복잡해진 것 같은 느낌이 들지만, 간단한 예를 들어 한결 쉽게 이해해 보자. n이 4라고 가정하면 아래와 같은 수식이 될 것이다.

n이 4일 때

 

같은 방법으로 n이 5일 때, 6일 때, 8일 때와 같이 숫자를 더 늘리더라도 식의 표현 방식 자체는 같다는 걸 알 수 있다.